Ideals, Varieties, and Algorithms

Dit boek biedt een uitgebreide en diepgaande verkenning van de verbinding tussen algebra en geometrie, met een sterke focus op praktische en computationele aspecten van de algebraïsche geometrie en commutatieve algebra. Geschreven voor zowel undergraduate- als graduate-studenten, kan het boek dienen als een eerste of tweede cursus in abstracte algebra met aanvullende materialen voor startende graduate cursussen in algebraïsche geometrie of computationele algebra.

Inhoud en Structuur

De eerste vier hoofdstukken vormen de kern van de tekst, die fundamentele concepten behandelt zoals de eliminatietheorema, het extensietheorema, het sluitingstheorema en de Nullstellensatz. De nieuwe editie introduceert een tiende hoofdstuk dat zich richt op de vooruitgang in het berekenen van Gröbner-basen, waarbij recente ontwikkelingen op dit opmerkelijke gebied worden besproken. Twee appendices bieden actuele computer algebra-informatie in Appendix C, en geüpdate onafhankelijke projecten in Appendix D.

Prerequisites en Benodigdheden

Voor een optimaal begrip van de inhoud worden enkele voorkennis vereist, waaronder lineaire algebra en een bewijsgerichte cursus. Daarnaast wordt aangenomen dat de lezer toegang heeft tot een computer algebra-systeem, waarvan de kenmerken van Maple™, Mathematica® en Sage uitvoerig worden besproken in Appendix C. Pseudocode wordt gebruikt doorheen de tekst, en in Appendix B wordt de gebruikte pseudocode zorgvuldig beschreven.

Toepassingen en Algoritmen

De tekst behandelt niet alleen theorie, maar legt ook nadruk op algoritmen, zoals Buchberger’s algoritme, dat wordt geïntroduceerd met toepassingen op syzygiëen, Hilbert-polynomen en primaire decomposities. De praktische implicaties van deze algoritmen worden benadrukt, met toepassingen in gebieden zoals robotica en geometrisch bewijsvoering.

Beoordelingen en Erkenning

De eerdere edities van dit boek zijn lovend ontvangen. Recensenten benadrukken de duidelijke uitleg, ondersteunende illustraties en uitdagende oefeningen die bijdragen aan een solide begrip van het moderne commutatieve en algebraïsche geometrie. Het boek wordt geprezen als een uitstekende gids voor verdergaande studenten die geïnteresseerd zijn in de algoritmische aspecten van dit vakgebied.

Dit boek is meer dan alleen een leerboek; het is een toonaangevende bron voor studenten die hun kennis van algebraïsche geometrie willen verdiepen en de praktijk van computationele technieken willen begrijpen. Door de gestructureerde opzet en de rijke inhoud is dit boek een waardevolle aanvulling op de bibliotheek van iedere wiskundestudent.