Arithmetic Of Elliptic Curves

De theorie van elliptische krommen is een fascinerend en complex vakgebied dat zich kenmerkt door een rijke geschiedenis en een diversiteit aan methoden. Dit boek, "The Arithmetic of Elliptic Curves" (2e editie, 2009), behandelt de aritmetische theorie van elliptische krommen in een moderne formulering, waarbij gebruik wordt gemaakt van basisprincipes uit de algebraïsche getaltheorie en algebraïsche geometrie.

Inhoudelijke structuur

Het boek begint met een beknopte bespreking van de noodzakelijke algebro-geometrische resultaten die de basis vormen voor het begrip van elliptische krommen. Daarna volgt een diepgaande verkenning van de geometrie van elliptische krommen, inclusief de formele groep van een elliptische kromme en het gedrag van deze krommen over verschillende velden:

- Eindige velden

- Complexe getallen

- Locale velden

- Globale velden

De laatste hoofdstukken van het boek richt zich op de rationele en integrale punten, waarbij belangrijke resultaten zoals Siegel's stelling en expliciete berekeningen voor de kromme \(Y^2 = X^3 + DX\) worden behandeld.

Nieuwe toevoegingen in de tweede editie

Deze tweede editie bevat een geheel nieuw hoofdstuk over algorithmische aspecten van elliptische krommen. Dit hoofdstuk legt de nadruk op algoritmen in eindige velden die toepassingen in de cryptografie hebben. Enkele van de besproken algoritmen zijn onder andere:

- Lenstra's factorisatie-algoritme

- Schoof's algoritme voor puntentelling

- Miller's algoritme voor het berekenen van de Tate en Weil paringen

Daarnaast is er een nieuwe sectie gewijd aan Szpiro's conjectuur en de ABC-conjectuur, evenals uitgebreide en bijgewerkte verslagen van recente ontwikkelingen in het vakgebied. Er zijn talloze nieuwe oefeningen toegevoegd om de lezer te helpen de materie te beheersen.

Appendices

Het boek bevat drie nuttige appendices die aanvullende informatie en context bieden:

- Elliptische krommen in karakteristieken 2 en 3

- Groep cohomologie

- Een derde appendix die een overzicht biedt van meer geavanceerde onderwerpen

Deze gedetailleerde en goed gestructureerde verhandeling over elliptische krommen is een onmisbaar naslagwerk voor zowel studenten als onderzoekers die geïnteresseerd zijn in de wiskundige diepgang en toepassingen van dit fascinerende onderwerp. De combinatie van theoretische inzichten en praktische algoritmen maakt dit boek relevant voor de hedendaagse wiskunde en cryptografie.