An Introduction to Manifolds

Manifolds zijn de hogere-dimensionale analogieën van gladde krommes en oppervlakken, en vormen fundamentele objecten in de moderne wiskunde. Ze combineren elementen uit de algebra, topologie en analyse en zijn eveneens toepasbaar in de klassieke mechanica, de algemene relativiteitstheorie en de kwantumveldentheorie.

In deze beknopte inleiding tot het onderwerp wordt de theorie van manifolds gepresenteerd met als doel de lezer snel een meester te laten worden van de essentiële onderwerpen. Dit boek is ontworpen voor zowel afgestudeerden als gevorderde bachelorstudenten die zich willen verdiepen in de geometrie en topologie van manifolds. Aan het einde van het boek dient de lezer in staat te zijn om, althans voor eenvoudige ruimtes, te berekenen wat een van de meest fundamentele topologische invariant van een manifold is: de de Rham-cohomologie. Tijdens deze reis verwerft de lezer de kennis en vaardigheden die nodig zijn voor verdere studies binnen de geometrie en topologie.

In de tweede editie, uitgebracht in 2011, zijn er vijftig pagina's nieuw materiaal toegevoegd. Veel passages zijn herschreven, bewijsvoering vereenvoudigd en nieuwe voorbeelden en oefeningen zijn toegevoegd. Dit werk kan worden gebruikt als leerboek voor een cursus van één semester op graduate- of gevorderd undergraduate-niveau, alsook door studenten die zich zelfstandig willen verdiepen in het onderwerp.

De noodzakelijke puntverzameling topologie wordt behandeld in een bijlage van vijfentwintig pagina's. Andere bijlagen bieden een overzicht van belangrijke feiten uit de reële analyse en lineaire algebra. Veel van de oefeningen en problemen zijn voorzien van hints en oplossingen, waardoor de lezer niet alleen de theorie begrijpt, maar ook praktisch aan de slag kan met de concepten.

Met slechts minimale onderbouwde vereisten is "Introduction to Manifolds" een uitstekende basis voor verdere studie in dit fascinerende vakgebied. Bovendien dient het als een rijke voorbereiding voor de publicatie "Differential Forms in Algebraic Topology" van dezelfde auteur, samen met Raoul Bott, wat een waardevolle aanvulling biedt voor hen die verder willen gaan in de wereld van de differentiële geometrie en algebraïsche topologie.

Dit boek is niet alleen een toegangspoort tot geavanceerde concepten, maar ook een waardevolle bron voor iedereen die zijn of haar begrip van manifolds en gerelateerde wiskundige gebieden wil verdiepen.